Tháng Năm 7, 2021

Các công thức lượng giác thường gặp

Các em học sinh đã làm quen với công thức lượng giác từ bậc THCS, lên THPT kiến thức được mở rộng ra. Lượng kiến thức tăng, nhiều công thức phức tạp khiến học sinh hay quên hoặc nhớ không chính xác. Thấy được tầm quan trọng đó mà 123hoi đã biên soạn bài viết này, mong muốn giúp các em có tài liệu ôn tập hiệu quả.

Ngoài bảng công thức lượng giác dưới đây, mình còn biên soạn bài tập có lời giải để rèn luyện kĩ năng giải bài giúp học sinh học hiệu quả hơn.

Các công thức lượng giác cơ bản

Sau khi học lượng giác bạn cần nhớ 5 bảng công thức cơ bản sau đây. Để tiện cho việc học 123hoi đã biên soạn theo thứ tự:

a) Công thức lượng giác biến tổng thành tích

Khi biến đổi biểu thức tổng thành biểu thức tích thì bạn cần nhớ 8 công thức quan trọng dưới đây

b) Công thức cộng lượng giác

Dưới đây là 6 công thức cộng trong lượng giác là

c) Công thức nhân đôi trong lượng giác

Có 3 công thức trong lượng giác dùng dể nâng bậc trong biểu thức là

d) Công thức hạ bậc trong lượng giác

Có 5 công thức trong lượng giác dùng để hạ bậc là

f) Công thức biến tích thành tổng trong lượng giác

Có 3 công thức biến đổi biểu thức tích thành biểu thức tổng:

Bài tập lượng giác

Ví dụ 1: Cho $\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\,\, = \,\,7$. Tính $\cos 4\alpha $.

Lời giải

Ta có $\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\,\, = \,\,7$$ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + 1}}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha + 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 7$

$ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + 1} \right) + {{\cos }^2}\alpha \left( {{{\cos }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} = 7$

$ \Leftrightarrow {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 1 = 7{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha $

$ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} – 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 1 = 7{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha $

$ \Leftrightarrow 2 = 9{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha $

$ \Leftrightarrow 8 = 9{\left( {2\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 8 = 9{\sin ^2}2\alpha $

$ \Leftrightarrow 16 = 9\left( {1 – \cos 4\alpha } \right)$

$ \Leftrightarrow \cos 4\alpha = – \frac{7}{9}$

Vậy $\cos 4\alpha = – \frac{7}{9}$

Ví dụ 2: Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \cot \frac{\alpha }{2}$ với $0 < \alpha < \pi $. Tính $\tan \left( {\frac{{\alpha + 2013\pi }}{2}} \right)$.

Lời giải

Ta có : $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}.\frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}}$ $ = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{\alpha }{2} + 1}}$

$\cos \alpha = {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} – {\sin ^2}\frac{\alpha }{2}$ $ = {\cos ^2}\frac{\alpha }{2}\left( {1 – \frac{{{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}}}} \right)$

$ = \frac{{1 – {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{\alpha }{2} + 1}}$

Do đó $\sin \alpha + \cos \alpha = \cot \frac{\alpha }{2}$$ \Leftrightarrow \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{\alpha }{2} + 1}} + \frac{{1 – {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{\alpha }{2} + 1}} = \frac{1}{{\tan \frac{\alpha }{2}}}$

$ \Leftrightarrow \tan \frac{\alpha }{2}\left( {1 + 2\tan \frac{\alpha }{2} – {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) = 1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2}$

$ \Leftrightarrow {\tan ^3}\frac{\alpha }{2} – {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} – \tan \frac{\alpha }{2} + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {\tan \frac{\alpha }{2} – 1} \right)^2}\left( {\tan \frac{\alpha }{2} + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \pm 1$

Vì $0 < \alpha < \pi \Rightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2}$ do đó $\tan \frac{\alpha }{2} > 0$ nên $\tan \frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow \cot \frac{\alpha }{2} = 1$

Ta có $\tan \left( {\frac{{\alpha + 2013\pi }}{2}} \right)$$ = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} + 2006\pi + \frac{\pi }{2}} \right)$$ = – \cot \frac{\alpha }{2} = – 1$

Vậy $\tan \left( {\frac{{\alpha + 2013\pi }}{2}} \right) = – 1$

Lưu ý: Ta có thể biểu diễn $\sin \alpha ,\,\cos \alpha ,\,\tan \alpha ,\,\cot \alpha $ qua $t = \tan \frac{\alpha }{2}$ như sau:

$\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\,$$\cos \alpha = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}},\,$ $\tan \alpha = \frac{{2t}}{{1 – {t^2}}},\,$ $\cot \alpha = \frac{{1 – {t^2}}}{{2t}}$ với $\alpha $ làm các biểu thức có nghĩa.

Câu 3.Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$. Tính $\tan \frac{{2\alpha + 2015\pi }}{4}$.

Lời giải

Bài 6.39: Đặt $t = \tan \frac{\alpha }{2}$ ta có $\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\,\cos \alpha = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ từ giả thiết ta có

$\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 7 + 2} \right){t^2} – 4t + \sqrt 7 – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}}\\ {t = \sqrt 7 – 2} \end{array}} \right.$

Do $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$ nên $t = \tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}$.

Ta có : $\tan \frac{{2\alpha + 2015\pi }}{4}$ $ = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} + 504\pi – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{{\tan \frac{\alpha }{2} – \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\pi }{4}}}$ $ = \frac{{\frac{{\sqrt 7 – 2}}{3} – 1}}{{1 + \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}}}$ $ = \frac{{\sqrt 7 – 5}}{{\sqrt 7 + 1}}$

Bài viết Các công thức lượng giác thường gặp tạm dừng ở dây. Qua bài viết này bạn đã học được những công thức thường gặp trong lượng giác, biết cách sử dụng công thức như thế nào để giải bài tập hiệu quả. Hy vọng đây là tài liệu giúp bạn yêu thích lượng giác nói riêng và toán học nói chung. Chúc bạn học tốt!