Tháng Năm 7, 2021

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải

Khi học tích phân, bạn sẽ thấy có khá nhiều phương pháp giúp tìm ra kết quả. Một trong nhiều phương pháp đó có tên gọi là phương pháp đổi biến số. Nó không lạ với nhiều học sinh nhưng đây vẫn coi là phương pháp hiệu quả nhất, dễ tiếp thu, ứng dụng giải được nhiều bài toán nhất là thi trắc nghiệm.

Bên cạnh phần lý thuyết còn có một điểm đặc biệt là bài tập kèm lời giải với mong muốn giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải toán tích phân.

1. Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Hãy tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {g(x)dx} $

Nếu ta giả thiết hàm g(x) có thể viết dạng f[u(x)].u’(x), với hàm u(x) có đạo hàm trên tập xác định K, hàm số y = f(u) luôn liên tục để hàm hợp f[u(x)] xác định trên tập K và a, b là hai số thuộc tập xác định K. Khi đó:

Chú ý: Khi dùng phương pháp đổi biến số để giải tích phân ta không nhất thiết phải chọn 1 chữ mà có thể lấy bất kì

2. Bài tập

Ví dụ 1. Một hàm số $f(x)$ liên tục trên tập xác định R và nó thỏa mãn $f(x) + f( – x) = c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x$ với $\forall x \in R$. Hãy tính tích phân sau $I = \int\limits_{\frac{{ – \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)} dx$

Lời giải

Ta tiến hành đặt $x = – t \Rightarrow dx = – dt$

Sau đó đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ – \pi }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{{ – \pi }}{2} \end{array} \right.$

Ví dụ 2. Một hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ và thỏa mãn biểu thức $f(x).f(3 – x) = \frac{4}{9}$ với

$\forall x \in \left[ {0;3} \right]$. Hãy tính tính tích phân $I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{2 + 3f(x)}}} dx$

Lời giải

Đặt $x = 3 – t \Rightarrow dx = – dt$, đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 3\\ x = 3 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.$.

Ví dụ 3: Tính tích phân có biểu thức sau K = $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{co{s^3}x + co{s^5}x}}{{{{\sin }^2}x + 4{{\sin }^4}x}}dx} $

Lời giải

Ta thấy hàm ${f\left( x \right) = \frac{{co{s^3}x + co{s^5}x}}{{{{\sin }^2}x + 4{{\sin }^4}x}}}$ đã cho là lẻ với cosx.

Tiến hành đặt sinx = t thì $\left\{ \begin{array}{l} \cos xdx = dt\\ {\cos ^2}x = 1 – {t^2} \end{array} \right.$

Khi đó: $k = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{co{s^2}x(1 + co{s^2}x)cos\,xdx}}{{{{\sin }^2}x + 4{{\sin }^4}x}}dx} $ $ = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{(1 – {t^2})(2 – {t^2})}}{{{t^2}(1 + 4{t^2})}}dt} $ $ = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{t^2}}} – \frac{{43}}{{4(1 + 4{t^2})}}} \right)dt} $ $ = \left. {\frac{1}{4}t} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} – \left. {\frac{2}{t}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} – \frac{{43}}{4}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{1 + 4{t^2}}}} $ $ = \frac{1}{{24}}(\sqrt 3 – 1)(32\sqrt 3 + 3) – \frac{{43\pi }}{{96}}$

Trên đây là phương pháp đổi biến số dùng để giải các bài toán tích phân từ căn bản tới phức tạp. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình học tập.