Tháng Sáu 13, 2021
Công thức đạo hàm lượng giác ngược

Công thức đạo hàm lượng giác ngược

Có nhiều bạn đã quen với công thức đạo hàm của hàm lượng giác nhưng khi nhắc tới hàm lượng giác ngược và cách lấy đạo hàm của nó hoặc là chưa từng nghe thấy hoặc nghe thấy rồi nhưng không chú ý dẫn tới nhớ không chính xác. Hiểu được điều đó nên 123hoi.com đã biên soạn tài liệu này hết sức chi tiết.

Tài liệu gồm 3 phần chính:

1. Những công thức đạo hàm lượng giác ngược cần nhớ

a) Hàm lượng giác ngược sin:

b) Hàm lượng giác ngược cosin:

c) Hàm lượng giác ngược tan:

d) Một số đạo hàm của hàm lượng giác ngược khác

  • Hàm sec

  • Hàm csc

  • Hàm cot

2. Những công thức đạo hàm cơ bản 

Ngoài những công thức đạo hàm của hàm lượng giác ngược trên, phần này sẽ nhắc lại những kiến thức đạo hàm cơ bản để bạn tiện tra cứu:

a) Bảng đạo hàm cơ bản

Bảng đạo hàm này gồm:

Bảng đạo hàm cơ bản

b) Bảng đạo hàm lượng giác

Dưới đây là 4 công thức đạo hàm lượng giác thường dùng:

Bảng đạo hàm lượng giác

3. Bài tập

Câu 1. Hãy tìm đạo hảm của hàm số$f(x) = \sqrt {{x^2} + x + 1} $ tại điểm ${x_0} = 2$

Lời giải

$f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt 7 }}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(x + 3)}}{{(x – 2)(\sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt 7 )}} = \frac{5}{{2\sqrt 7 }}$

Câu 2. Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ge 0\\ ax + b{\rm{ khi }}x < 0 \end{array} \right.$ có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Lời giải

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = b$

Hàm số liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow b = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = – 1$,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} a = a$

Hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 0 \Leftrightarrow a = – 1$

Vậy $a = – 1,b = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 3. Tính đạo hàm các hàm số sau: $y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} $

Lời giải

Ta có: $y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’ + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$

$ = 3[1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x + \frac{{6{x^2}{\text{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\text{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$.

Câu 4. Giải bất phương trình $f'(x) \geqslant 0$ với $f(x) = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$

Lời giải

TXĐ: D = R

Ta có: $f'(x) = 6{x^2} – 6x$, suy ra $f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 0\\ x \ge 1 \end{array} \right.$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau$y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

Lời giải

Ta có $y’ = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},$ $y” = – \frac{{3\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]’}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ – 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}$

$y”’ = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}$. Ta chứng minh ${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$

Với $n = 1 \Rightarrow y’ = \frac{{{{( – 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}$ đúng

Giả sử ${y^{(k)}} = \frac{{{{( – 1)}^{k – 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}$

$ \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)’ = – \frac{{{{( – 1)}^{k – 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]’}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}}$ $ = \frac{{{{( – 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}$

Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \left( {\frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)$

Lời giải

Đầu tiên sử dụng công thức ${\left( {{u^\alpha }} \right)^/}$ với $u = \frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$

$y’ = 2\left( {\frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).{\left( {\frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/}$

Tính ${\left( {\frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/}$

$ = \frac{{{{\left( {1 – \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 + \sqrt x } \right) – {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 – \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$

$ = \frac{{\frac{{ – 1}}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 – x} \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$

$ = \frac{{ – 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$

Vậy $y’ = 2\left( {\frac{{1 – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ – 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$ .

Những chia sẻ về công thức đạo hàm lượng giác ngược đến đây tạm kết thúc. Hy vọng với những công thức trên và phần bổ sung đã giúp bạn có được tài liệu tổng quát ôn phù hợp với bản thân.