Tháng Năm 7, 2021

Công thức tính nhanh nguyên hàm lớp 12

Những năm gần đây, bài thi học kì hay bài thi toán tốt nghiệp THPT Quốc gia đều tổ chức theo hình thức thi trắc nghiệm. Nghĩa là học sinh muốn đạt điểm tối đa cần giải quyết toàn bộ câu trong thời gian cho trước, bởi vậy những công thức tính nhanh là cần thiết vào lúc này.

Nguyên hàm là một chủ đề chắc chắn sẽ xuất hiện trong bài thi mà nó lại có nhiều công thức tính nhanh. Làm sao để nhớ chính xác mỗi công thức nguyên hàm? làm sao để vận dụng nó thành thạo?… Tất cả đều có trong bài viết này. Mời bạn theo dõi

I. Những công thức nguyên hàm cơ bản

a) Công thức nguyên hàm cơ bản

Đây là 4 công thức bạn cần nhớ

b) Công thức phân thức trong nguyên hàm

Ngoài những phân thức căn bản trong sách giáo khoa đã nều thì 123hoi đã bổ sung thêm 4 công thức nâng cao giúp bạn tìm ra kết quả bài toán nguyên hàm nhanh hơn

c) Tính nhanh căn thức trong nguyên hàm

Căn thức là dạng nguyên hàm phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh khi làm bài tập. Tuy nhiên nếu bạn nhớ 6 công thức dưới đây, việc biến đổi trở nên đơn giản hơn nhiều.

d) Tính nhanh nguyên hàm mũ và nguyên hàm cơ số e

Với hàm số mũ, muốn tính nhanh nguyên hàm thì bạn cần nhớ 5 công thức thường sử dụng

e) Tính nhanh nguyên hàm lượng giác

Nguyên hàm lượng giác với hàm sincos gồm có 8 công thức quan trọng dưới đây

II. Bài tập nguyên hàm

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}$.

A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.

B. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.

C. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x + \cos x} + C$.

D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x + 2\cos x + C} $.

Lời giải

Chọn B$\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^2}x}}{2} + C$

$\int {\left( {\frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {\frac{{2\sin x.{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {\frac{{2\sin x\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 + \cos x}}} \right)} dx$

$ = 2\int {\sin x\left( {1 – \cos x} \right)dx} $

$ = \int {2\left( {\cos x – 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} $

$ = {\cos ^2}x – 2\cos x + C$

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^5}x}}$.

A. $\int {f(x).dx = } \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$. B. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^4}x}}{4} + C$.

C. . D. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C$.

Lời giải

Chọn A

$\int {\frac{{{{\cos }^3}xdx}}{{{{\sin }^5}x}}} $$ = \int {{{\cot }^3}x.\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $

$ = – \int {{{\cot }^3}x.d\left( {\cot x} \right)} $

$ = \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)$.

A. $\int {f(x).dx = } \sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$ B. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$.

C. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$. D. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$.

Lời giải

Chọn C

$\int {\cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} $$ = \int {\cos 2x\left[ {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right]dx} $

$ = \int {\cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)dx} \,$

$ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{2}\int {{{\sin }^2}2x.\cos 2xdx} $

$ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{4}\int {{{\sin }^2}2x.d\left( {\sin 2x} \right)} $

$ = \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos x$.

A. $\int {f(x)dx = } – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$. B. $\int {f(x)dx = } \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.

C. $\int {f(x)dx = } – \cos x + {e^{2\sin x}} + C$. D. $\int {f(x)dx = } – \cos x – \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.

Lời giải

Chọn A

$\begin{gathered}
\int {\left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos xdx} \hfill \\
= \int {\sin xdx} + \int {{e^{2\sin x}}d\left( {\sin x} \right)} \hfill \\
= – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C \hfill \\
\end{gathered} $

Câu 5. Biết hàm số $F(x) = – x\sqrt {1 – 2x} + 2017$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {1 – 2x} }}$. Khi đó tổng của $a$ và $b$ là

A. $ – 2$.

B. $2$.

C. $0$.

D. $1$.

Lời giải

Chọn B

$F'(x) = \left( { – x\sqrt {1 – 2x} + 2017} \right)’ = \frac{{3x – 1}}{{\sqrt {1 – 2x} }}$ $ \Rightarrow a + b = 3 + \left( { – 1} \right) = 2$