Tháng Sáu 13, 2021

Các dạng bài tập hệ thức viet

Trong những năm gần đây trong các đề thi vào lớp 10 thuộc bậc THPT thì nhiều bài toán liên quan tới phương trình bậc 2 xuất hiện. Phần nhiều trong những bài đó có thể giải nhanh bằng hệ thức viet. Vậy hệ thức viet là gì? Có những dạng bài tập hệ thức viet nào thường gặp?

Tất cả câu hỏi đó được giải đáp chi tiết ở phần dưới. Ta bắt đầu nào

1. Giải phương trình bậc 2

Giả sử một phương trình bậc 2 một ẩn có dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0

trong đó

  • x là ẩn
  • a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Để tìm nghiệm của phương trình bậc 2 ta cần tính biệt thức Δ = b2 – 4ac:

  • Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,$ ${x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}$
  • Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = – b/a
  • Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thức Viet

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: $\left\{ \begin{array}{l} P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\\ S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} \end{array} \right.$

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0, (Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0).

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán:

  1. \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}.{x_2}\)
  2. \({\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}.{x_2}\)
  3. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} – 2{x_1}.{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\)
  4. \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
  5. \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}.{x_2}} \)
  6. \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} – 2x_1^2.x_2^2 = {\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}.{x_2}} \right)^2} – 2x_1^2.x_2^2\)
  7. \(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}.{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}}\)

Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n.

  • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a
  • Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = – 1; x2 = – c/a

3. Các dạng bài tập hệ thức Viet

Ví dụ 1: Cho phương trình 3x2 – 2x – 3 = 0. Hãy tìm giá trị của biểu thức sau

a) $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$

b) $x_1^2 + x_2^2$

c) $x_1^3 + x_2^3$

Lời giải

Ta dễ thấy: a.c = 3.(-3) = – 9 < 0 => phương trình 3x2 – 2x – 3 = 0 có 2 nghiệm

a) $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}$ $ = \frac{{ – \frac{b}{a}}}{{\frac{c}{a}}}$$ = – \frac{b}{c}$$ = – \frac{{ – 2}}{{ – 3}}$$ = – \frac{2}{3}$

b) $x_1^2 + x_2^2$ $ = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 – 2{x_1}{x_2}$ $ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}$ $ = \frac{{ – b}}{a} – 2.\frac{c}{a}$ $ = – \frac{{ – 2}}{3} – 2.\frac{{ – 3}}{3}$ $ = – \frac{4}{3}$

c) $x_1^3 + x_2^3$ = $x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}.x_2^2 + x_2^3$ $ – 3x_1^2{x_2} – 3{x_1}.x_2^2$ $ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$ = {\left( {\frac{{ – b}}{a}} \right)^3} – 3.\frac{c}{a}.\left( {\frac{{ – b}}{a}} \right)$ $ = {\left( { – \frac{{ – 2}}{3}} \right)^3} – 3.\frac{3}{3}.\left( { – \frac{{ – 2}}{3}} \right) = – \frac{{46}}{{27}}$

Bài viết chia sẻ về hệ thức viet đến đây tạm dừng. Hy vọng bài viết này đã giúp ich được cho bạn trong quá trình học tập)