Tháng Sáu 13, 2021
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 10 nâng cao

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 10 nâng cao

Muốn giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ngoài hiểu được lý thuyết thì bạn cần biết bài mình đang giải rơi vào dạng toán nào. Đây là yếu tố then chốt giúp việc giải toán trở nên nhanh gọn đồng thời cho đáp án chính xác hơn

Dạng toán 1: Giải phương trình |f(x)| = k, với k là hằng số không âm.

Các bước giải

  • Bước 1: Ta cần tìm điểu kiện để f(x) xác định nêu như thấy cần thiết
  • Bước 2: Khi đó: $\left| {f\left( x \right)} \right| = k \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\\ f\left( x \right) = – k \end{array} \right.$ => Ta tìm được giá trị của x
  • Bước 3: Dựa vào điều kiện bước 1, ta tiến hành kiểm tra để từ đó đưa ra kết luận nghiệm của phương trình như sau: $\left| {f\left( x \right)} \right| = k$ $ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {k^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right) – k} \right]\left[ {f\left( x \right) + k} \right] = 0$

Ví dụ: Hãy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau $\left| {\frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 4}}} \right| = 2$

Lời giải

Điều kiện: x – 4 ≠ 0 <=> x ≠ 4

$\left| {\frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 4}}} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 4}} = 2\\ \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 4}} = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 3x + 5 = 2x – 8\\ {x^2} – 3x + 5 = – 2x + 8 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 5x + 13 = 0\left( {vo\,nghiem} \right)\\ {x^2} – x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\\ x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.$

Kết luận: Phương trình có 2 nghiêm là $x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$ và $x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2}$

Dạng toán 2: Giải phương trình |f(x)| = |g(x)|

Các bước giải

  • Bước 1: Giống như dạng toán 1, trước tiên cần tìm điều kiện để cả f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
  • Bước 2: Khi đó: $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f\left( x \right) = – g\left( x \right) \end{array} \right.$ => Ta có thể tìm được giá trị của x
  • Bước 3: Dựa vào điều kiện của bước 1 ta đưa ra kết luận hay chỉ ra được nghiệm của phương trình cần tìm.

Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối $\left| {\frac{{2{x^2} – 5}}{{x + 3}}} \right| – \left| {x – 3} \right| = 0$

Lời giải

$\left| {\frac{{2{x^2} – 5}}{{x + 3}}} \right| – \left| {x – 3} \right| = 0$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2{x^2} – 5}}{{x + 3}}} \right| = \left| {x – 3} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} – 5}}{{x + 3}} = x – 3\\ \frac{{2{x^2} – 5}}{{x + 3}} = – \left( {x – 3} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2{x^2} – 5 = {x^2} – {3^2}\\ 2{x^2} – 5 = – \left( {{x^2} – {3^2}} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = – 4\left( {loai} \right)\\ x = \pm \sqrt {\frac{{14}}{3}} \end{array} \right.$

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là $x = \pm \sqrt {\frac{{14}}{3}} $

Dạng toán 3: Giải phương trình |f(x)| = g(x)

Ta có thể chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Phá dấu trị tuyệt đối

  • Bước 1: Trước tiên là ta cần tìm điều kiện để f(x) và g(x) cũng xác định
  • Bước 2: Xét hai trường hợp:
    • Trường hợp 1: Nếu f(x) ≥ 0 (1) thì f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1).
    • Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2) thì – f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2).
  • Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2: Thực hiện theo 3 bước sau đây

  • Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) ≥ 0
  • Bước 2: Khi đó $\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f\left( x \right) = – g\left( x \right) \end{array} \right.$ => Nghiệm x
  • Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình

Ví dụ: Giải phương trình |x2 – x| + 4 = 3x

Lời giải

|x2 – x| + 4 = 3x <=>|x2 – x| = 3x – 4 (1)

Điều kiện: 3x – 4 ≥ 0 <=> x ≥ $\frac{4}{3}$

Khi này, ta phá dấu giá trị tuyệt đối phương trình (1): $\left[ \begin{array}{l} {x^2} – x = 3x – 4\\ {x^2} – x = – \left( {3x – 4} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 4x + 4 = 0\\ {x^2} – 2x – 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {x – 2} \right)^2} = 0\left( 2 \right)\\ {x^2} – 2x – 4 = 0\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Giải phương trình (2): x = 2

Giải phương trình (3): $\left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 5 \\ x = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$

Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 ta thấy: $x = 1 – \sqrt 5 < \frac{4}{3}\left( {loai} \right)$

Kết luận: phương trình trên có 2 nghiệm là x = 2 và x = $1 + \sqrt 5 $

Trên đây là 3 dạng toán về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được bạn.