Tháng Năm 7, 2021

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Để tính góc giữa hai mặt phẳng bạn cần xem lại lý thuyết phương trình của mặt phẳng, hiểu hơn thế nào về vecto pháp tuyến, vecto chỉ phương.

Bài viết này ngoài giới thiệu công thức thường dùng, phần 2 có giới thiệu bài tập kèm lời giải chi tiết giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài sao cho hiệu quả.

1. Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, giả sử phương trình tổng quát của (P), (Q) được viết dạng
góc giữa 2 mặt phẳng

Để tính góc giữa hai mặt phẳng này, ta có thể dùng công thức với hướng dẫn cách làm như sau:

Bước 1: Bạn cần tìm được vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} .$ Tùy theo phương trình bài cho mà ta tìm vecto pháp tuyến này đơn giản hay cần phải biến đổi mới có.

Bước 2: Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng hoặc bù với góc tạo bảo hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} .$ Công thức cần sử dụng là

công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

Chú ý:

  •  Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn: \[{0^0} \le \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \le {90^0}\] \[ \Rightarrow 0 \le \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \le 1\]
  • Khi hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0$

2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian Oxyz, gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P): – 5x + 6y – z = 0 và (Q): 0,5y + 3z = 0. Hỏi góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng bao nhiêu

Lời giải

Theo đề:

  • Phương trình mặt phẳng (P): – 5x + 6y – z = 0 => vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( -5;6;-1 \right)$
  • Phương trình mặt phẳng (Q): 0,5y + 3z = 0 => vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 0,5;3 \right)$

Góc α được tính theo công thức

tính góc giữa 2 mặt phẳng

$ = \frac{{\left| { – 5.0 + 6.0,5 + \left( { – 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2} + {1^2}} }} = 0$

$ \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {90^0}$

=> Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau

Lưu ý: Ngoài cách trên ta còn thấy $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)$

Câu 2. Giả sử biết phương trình hai mặt phẳng lần lượt là

  • Phương trình mặt phẳng (α): x – 4my + 110 = 0
  • Phương trình mặt phẳng (β): 6y – 5mz + 1589 = 0

Từ hai phương trình mặt phẳng đã cho, hỏi giả trị m bằng bao nhiêu để (α) ⊥ (β)

Lời giải

Theo đề bài

  • Phương trình mặt phẳng (α): x – 4my + 110 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;-4m;0 \right)$
  • Phương trình mặt phẳng (β): 6y – 5mz + 1589 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 0;6;-5m \right)$

Góc giữa hai mặt phẳng được áp dụng theo công thức

cách tìm góc giữa 2 mặt phẳng

Để $\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)$ thì $\cos \left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)=0$

Dựa theo công thức trên:

góc giữa hai mặt phẳng

Kết luận: Để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì giá trị m cần tìm là m = 0

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxyz, biết hai mặt phẳng có phương trình

• (α): – 5x + y – 4z = 0
• (β): x – 3y – 7z – 5 = 0

Hãy xác định góc giữa 2 mặt phẳng này

Lời giải

Ta thấy

  • (α): – 5x + y – 4z = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( -5;1;-4 \right)$
  • (β): x – 3y – 7z – 5 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 1;-3;-7 \right)$

Áp dụng công thức:

cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

\[=\frac{\left| \left( -5 \right).1+1.\left( -3 \right)+\left( -4 \right).\left( -7 \right) \right|}{\sqrt{{{\left( 5 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -7 \right)}^{2}}}}=0,41077\]

\[\Rightarrow \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=66,{{31}^{0}}\]

Trên đây là bài viết chia sẻ công thức tính góc của hai mặt phẳng. Đây là dạng toán thường xuyên gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia cũng như vào đại học, nếu bạn muốn đạt điểm cao cần rèn luyện tốt dạng này. Mong rằng bài viết này đã giúp ích được cho bạn, có khó khăn chỗ nào hay để lại bình luận phía dưới mình sẽ giải đáp giúp bạn. Chúc bạn học tập hiệu quả.