Tháng Năm 7, 2021

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Để biết cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thì trước tiên bạn cần xem lại những công thức tính nhanh nguyên hàm đã được 123hoi giới thiệu ở bài học trước. Trong bài viết đó đã nêu chi tiết từng công thức và cách áp dụng. Tuy nhiên, nếu chỉ dùng những công thức đó là chưa đủ bởi nhiều bài toán nguyên hàm đòi hỏi nhiều kĩ năng biến đổi, nhiều phương pháp mới. Đây là một trong nhiều phương pháp giải nguyên hàm hiệu quả đó.

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số với nguyên hàm được chia làm 2 dạng đổi biến:

Đổi biến dạng 1

Giả sử nguyên hàm có dạng $\int {f(x)dx = F(x) + C} $ và một hàm dạng u = φ(t) có đạo hàm. Khi đó nguyên hàm f(x) sẽ biến đổi như sau

Hướng dẫn giải

Phương pháp đổi biến dạng 1 này gồm 4 bước căn bản sau

Bước 1: Ta đặt x bằng một hàm của t như sau x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta đã chọn trước

Sau này bạn sẽ thấy, việc chọn hàm φ(t) là rất quan trong, nó quyết định giải bài toán nhanh hay chậm. Để chọn được φ(t) đẹp thì bạn cần có kinh nghiệm giải bài tập nhiều hơn nữa

Bước 2: Sau khi đã chọn được hàm φ(t) để đặt thì ta tiến hành lấy vi phân hai vế: dx = φ’(t)dt

Bước 3: Ta tiến hành biến đổi tích phân ban đầu về ẩn với t

Bước 4: Lúc này, thay vì lấy tích phân theo x thì ta đã lấy tích phân theo t, giống như công thức tổng quát dưới đây

Ví dụ: Biết ${\kern 1pt} x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],$ hãy tìm nguyên hàm $A = \int {\sqrt {1 – {x^2}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\text{d}}x} $

Lời giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1, ta tiến hành giải như sau

  • Bước 1: đặt x = sint
  • Bước 2: Lấy vi phân 2 về dx = cos(t)dt

Khi đó  $1 – {x^2} = 1 – {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

  • Bước 3: biến đổi về ẩn t như sau $\sqrt {1 – {x^2}} {\mkern 1mu} dx = \sqrt {{{\cos }^2}t} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos t{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\rm{d}}t$
  • Bước 4: Lúc này

  • Bước 4: Kết luận nghiệm $I = \frac{t}{2} + \frac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Đổi biến dạng 2

Giả sử một hàm số f(x) cho trước đang liên tục, ta tiến hành đặt x = φ(t).

Lưu ý: φ(t) và φ’(t) phải làm hàm liên tục

Khi này ta được: 

Hướng dẫn giải

Giống như phương pháp 1, phương pháp đổi biến dạng 2 cũng gồm 4 bước quan trọng tuy nhiên về cách đặt hàm thì ngược lại. Cụ thể là

Bước 1: Ta cần chọn hàm φ(x) thích hợp để đặt bằng t như sau: t = φ(x) (*)

Bước 2: Tiếp theo ta tiến hành lấy vi phân 2 vế của biểu thức (*) ở bước 1: dt = φ’(t)dt

Bước 3: Ta tiến hành biến đổi tích phân ban đầu từ ẩn x về ẩn với t

Bước 4: Lúc này, thay vì lấy tích phân theo x thì ta đã lấy tích phân theo t, giống như công thức tổng quát dưới đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của dạng sau $A = \int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} $

Lời giải

Để giải bài nguyên hàm này, ta tiến hành sử dụng phương pháp đổi biến số loại 2 theo thứ tự các bước đã nói ở trên

  • Bước 1: Đặt ẩn t bằng hàm f(x) như sau $t = \sqrt {{x^2} + 1} $

Dựa vào cách đặt này ta biến đổi: ${t^2} = {x^2} + 1{\text{ }}$(**)

  • Bước 2: Tiến hành lấy vi phân hai vế biểu thức (**), ta được 2tdt = 2xdx (***)
  • Bước 3: Ta rút gọn (***) và được: tdt = xdx
  • Bước 4: Tính ngguyên hàm theo t như sau

Kết luận:$A = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} + C$

Nếu bạn thường xuyên theo dõi 123hoi, bạn sẽ thấy phương pháp này có tên và cách biến đổi giống phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Hoàn toàn chính xác bạn ạ, cũng giống phương pháp đó để học tốt bạn cần nhớ chính xác kiến thức nguyên hàm căn bản, sau đó là đọc kĩ bài viết trên. Chúc bạn học hiệu quả