Tháng Năm 7, 2021

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Bước vào học kì 2 của lớp 10, em sẽ được học tích phân. Trong chương này, em sẽ học khá nhiều phương pháp giải bài toán tích phân, một trong những phương pháp hiệu quả, thường xuyên được dùng là phương pháp đổi biến số. Muốn giải tốt những bài toan tích phân thì em cần học tốt phương pháp này. Thấy được tầm quan trọng, 123hoi đã tổng hợp và biên soạn.

Để củng cố kiến thức, phần 3 sẽ là bài tập có lời giải để tiện các em biết cách vận dụng cũng như nhớ công thức tốt hơn.

1. Phương pháp đổi biến số

Ta đặt

  • Khi đặt t = u(x) thì dt = u′(x)dx
  • Tiếp tục đặt u(t) = v(x) thì u′(t)dt = v′(x)dx

Dựa vào sự biến đổi ở trên, ta có công thức tích phân đổi biến số là:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

2. Các dạng tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Có 2 dạng toán đổi biến thường xuyên sử dụng:

Dạng 1: Đổi biến loại 1

Phương pháp này ta đặt t = u(x), cụ thể các bước làm theo thứ tự như sau

Bước 1: Ta cần đổi cận bằng cách t = u(x)

  • x = a ⇒ t = u (a) = a ′
  • x = b ⇒ t = u (b) = b ′

Bước 2: Tiếp theo là tính vi phân dt = u′(x)dx

Bước 3: Thay đổi f(x)dx thành g(t)dt

Bước 4: Viết lại biểu thức tích phân theo ẩn t, cụ thể

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 2: Đổi biên loại 2

Phương pháp này ta đặt x = u(t), cụ thể các bước làm theo thứ tự như sau

Bước 1: Ta cần đổi cận ngược như sau, đặt x = u(t), khi đó

  • x = a ⇒ t = a′
  • x = b ⇒ t = b′

Bước 2: Tiến hành lấy vi phân hai về của biểu thức dx = u ′ (t)dt

Bước 3: Sau đó biến đổi biểu thức f(x)dx = f(u(t)).u′(t)dt = g(t)dt

Bước 4: Viết lại biểu thức trong dấu tích phân dưới ẩn t

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

3. Bài tập

Bài tập 1: Cho tích phân $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2$. Hãy tính $A = \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} $

Lời giải

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f(2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân $A = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} $

Lời giải

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\left[ {\frac{1}{3};3} \right]$ thỏa mãn f(x) + $x.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^3}$ – x. Giá trị tích phân $A = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + x}}dx} $

Lời giải

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R, ta có f(x) > 0 và f(0).f(2018 – x) = 1. Hay tính giá trị của biểu thức sau $A = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} $

Lời giải

$A = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \frac{{2018 – 0}}{{2.1}} = 1009$

Bài tập 5: Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [ – 1; 1] và $A = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx = 2} $. Hãy tính tích phân sau $B = \int\limits_{ – 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} $

Lời giải

Trên đây là bài viết hướng dẫn tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Ngoài phương pháp này còn có phương pháp tính tích phân từng phần đã được học ở bài trước, bạn có thể xem lại.